martedì 23 dicembre 2014

Post-it di Rubrus *** Il teorema di incompletezza di Goedel: (tanto per esercitare la mente prima di pranzi e cenoni)



Il teorema di incompletezza di Goedel:
... Detto in modo poetico, ogni volta che si analizza un sistema, o un aspetto della realtà, si scopre che, per sapere se è vero falso, bisogna chiedere da un’altra parte, all’infinito (o fermarsi e compiere, in definitiva, un atto di fede: decido se un assioma è vero o falso; ma non lo so, lo decido).

Risale al 1931 la formulazione dei famosi teoremi di incompletezza di Godel (che andrebbe scritto con la umlaut sulla "o", ma fatemene grazia).
Volendo azzardarne una definizione ipersintetica, essi dimostrano matematicamente che nessun sistema può dimostrare se stesso. Esso richiede un numero di assiomi che non possono essere dimostrati ma che devono essere presi per veri o falsi e quindi sono esterni al sistema stesso. E non solo. I teoremi di Godel dimostrano anche che il numero degli assiomi è infinto.
La forza dei teoremi di Godel sta nell’essere enunciati matematici, cioè di quella disciplina umana che, più di ogni altra, è esatta, astratta e definitoria.
In realtà, infatti, che la logica (e quindi la matematica) non siano in grado di definirsi da sé e di definire esattamente, per l’effetto, l’universo intero, è noto da migliaia di anni.
Mi piace ricordare a questo proposito il paradosso del Cretese “Epimenide Cretese dice che tutti i cretesi mentono sempre” o quello del barbiere “Se il barbiere rade tutti quelli che non si radono da sé, chi rade il barbiere?”.
Insomma, ci sono e ci sono state moltissime proposizioni c.d. “indecidibili” di cui non si può dire, cioè, dal punto di vista logico – formale, se siano vere o false. Se leggete i due paradossi di cui sopra (che, tecnicamente, non sarebbero neppure paradossi, ma antinomie) ve ne accorgerete.
Oggi questi paradossi hanno trovato una formulazione logico – matematica in questa proposizione che differisce (senza smentirli) dai paradossi di cui sopra perché la contraddizione viene posta dall’esterno del sistema e non è posta all’interno della frase: p = "Questa affermazione non può essere dimostrata".  
Godel (per usare le parole di wikipedia) ha dimostrato matematicamente che “non è mai possibile giungere a definire la lista completa degli assiomi che permetta di dimostrare tutte le verità. Ogni volta che si aggiunge un enunciato all'insieme degli assiomi, ci sarà sempre un altro enunciato non incluso”.
Detto in modo poetico, ogni volta che si analizza un sistema, o un aspetto della realtà, si scopre che, per sapere se è vero falso, bisogna chiedere da un’altra parte, all’infinito (o fermarsi e compiere, in definitiva, un atto di fede: decido se un assioma è vero o falso; ma non lo so, lo decido).
Se è vero che l’Universo è scritto ed è definibile con la matematica, e la matematica non può giungere a definire se stessa, ma deve trovare la sua verità o falsità fondante al di fuori di essa, allora l’Universo (e l’uomo che ne fa parte) trova la sua verità, se esiste, al di fuori di se stesso.
Ovviamente è saggio fermarsi qui prima di tralignare in slanci misticheggianti o scelte fideistico/scientiste per la ragione o per l’irrazionale; entrambe umanamente comprensibili (perché siamo imperfetti e la consapevolezza della nostra imperfezione e della nostra finitezza ci terrorizza), a volte giustificabili, a volte no, a volte foriere di esiti fausti, altre nefasti, ma in ogni caso individuali e mai in grado (ragionevolmente e razionalmente) di giungere al rango di verità assolute.
Vi lascio con una storiella di Paul Davies (http://disf.org/davies-teorema-incompletezza-godel) che espone in forma narrativa tutto questo discorso sull’incompletezza. Mi fa piacere fare notare che quello di Davies potrebbe essere un racconto di fantascienza o fantasy, tanto per smentire chi ha un uggia queste forme narrative perché non sarebbero “vere” (sì, a Natale siamo tutti più buoni, ma non esageriamo e quindi fatemi togliere un sassolino dalla scarpa, eh?). Buone feste.
  In un paese lontano un gruppo di matematici che non avevano mai sentito parlare di Gödel si convinse che esisteva davvero una procedura sistematica per determinare infallibilmente la verità o falsità di qualunque proposizione sensata, e si propose di dimostrarlo. La loro procedura poteva essere eseguita da una persona, o da un gruppo di persone, o da una macchina, o da qualsiasi combinazione di queste tre possibilità. Nessuno sapeva con certezza quale combinazione avessero scelto i matematici, perché il sistema era situato in un grande edificio universitario, piuttosto simile a un tempio, e l'ingresso era vietato al pubblico. Comunque, il sistema venne chiamato Tom. Per controllare l'abilità di Tom gli venivano sottoposte complesse asserzioni logiche e matematiche di ogni tipo e, dopo il tempo necessario per l'elaborazione, arrivavano puntualmente le risposte: vero, vero, falso, vero, falso... Dopo non molto la fama di Tom si diffuse in tutto il paese. In molti venivano a visitare il laboratorio e aguzzavano sempre di più l'ingegno per formulare problemi sempre più difficili nel tentativo di mettere in difficoltà il sistema. Nessuno ci riuscì. La fiducia dei matematici nell'infallibilità di Tom crebbe a tal punto che persuasero il loro re a offrire un premio a chiunque riuscisse a sconfiggere il suo incredibile potere analitico. Un giorno, un viaggiatore che veniva da un altro paese giunse all'università con una busta e chiese di sfidare Tom. Nella busta c'era un pezzo di carta con una proposizione da sottoporgli. La proposizione, che possiamo indicare con «P» («P» sta per «proposizione» o per «paradosso»), diceva semplicemente: «Tom non può dimostrare che questa proposizione è vera».
P venne sottoposta a Tom. Erano passati appena pochi secondi che il sistema entrò in preda a una specie di convulsione. Dopo mezzo minuto un tecnico giunse correndo dal laboratorio con la notizia che Tom era stato disattivato a causa di problemi tecnici. Che cosa era accaduto? Supponiamo che Tom dovesse arrivare alla conclusione che P è vera. Questo significherebbe che la proposizione «Tom non può dimostrare che questa proposizione è vera» sarebbe stata falsificata. Ma se P è falsificata, non può essere vera. Così se Tom risponde «vero» a P, avrà raggiunto una conclusione falsa, contraddicendo la sua vantata infallibilità. Dunque Tom non può rispondere «vero». Siamo dunque giunti alla conclusione che P è effettivamente vera. Ma nel giungere a questa conclusione abbiamo dimostrato che Tom non può giungere a questa conclusione. Questo significa che noi conosciamo la verità di una proposizione che Tom non può dimostrare. Questa è l'essenza della dimostrazione di Gödel: che esisteranno sempre certe proposizioni vere che non possono essere dimostrate. Il viaggiatore, naturalmente, lo sapeva e non ebbe alcuna difficoltà a costruire P e intascare il premio.

5 commenti:

  1. Quando non hai una "umlaut" a portata di tasto... basta aggiungere una "e" alla vocale e il gioco è fatto.
    Per il resto dammi tempo perchè il discorso mi sembra estremamente interessante, e anche se abbastanza intuitivo merita considerazioni ponderate.
    La faccenda è intrigante, non c'è che dire.

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  2. Io invece vado su Google e faccio il copia-incolla della parola: Kurt Gödel...
    Sid

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  3. Il trucco, ripeto, è fermarsi in tempo prima di intraprendere derive irrazionaliste - che possono essere lecite o comprensibili ma non sono giustificabili se ci si mantiene (come secondo me ci si deve mantenere) in una linea rigorosa di pensiero. L'aspetto forse più "sociologicamente" intrigante è che una riflessione, anche a livello intuitivo ed elementare, quale quella cui voglio limitarmi, su questi teoremi induce ad astenersi da ogni troppo frettolosa affermazione circa un presunto "possesso della verità" . Ciò vale non solo a livello religioso (il che dovrebbe essere oramai opinione abbastanza diffusa) ma anche a livello matematico / scientifico. La portata dirompente di questi teoremi (che confutano il precedente programma di Hillbert) è che non solo non conosciamo la verità ultima, ma non possiamo ontologicamente conoscerla in modo razionale. Va da sè che prima di arrivare (ammesso che ci si possa arrivare) a un tale grado di sapere ci sono miriadi e miriadi di proposizioni la cui verità o falsità può essere appurata con poco o molto o moltissimo sforzo.

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  4. Sulla vita di Godel, brevemente:
    http://biografieonline.it/biografia.htm?BioID=2367&biografia=Kurt+Godel


    http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/info/BIBLIOID/Casti.htm

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  5. Sofismi filosofici, retorica,matematica, letteratura tutte unite per dibattere i rebus di sempre.
    La nostra stessa vita è un paradosso: vivere e morire incessantemente con la natura stessa, tra cinque miliardi di anni abbruciati da una stella collassata.
    Da giovane ero molto attirato da queste arrampicate intellettuali, da vecchio più dall'andamento vacillante della salute.
    Comunque ebbi modo a suo tempo ( 1979 ) di acquistare il celebre saggio < Gödel, Escher e Bach > ( GEB ), sul quale spesi tanto tempo di studio, senza venirne a capo per la complessità della materia.
    Pur rimanendone per sempre affascinato.
    Leggendo il testo di Rubrus mi son sovvenuto di tanti ricordi che pensavo seppelliti lungo i decenni.
    Bene, quindi, anche se la materia potrebb'essere indigesta ai più...
    Siddharta

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